Ako je A m × n matrica, tada ATA i AAT imaju iste nenulte svojstvene vrijednosti … Stoga je Ax svojstveni vektor AAT-a koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ. Analogni argument se može koristiti da se pokaže da je svaka svojstvena vrijednost različita od nule AAT svojstvena vrijednost ATA, čime se završava dokaz.
Jesu li vlastite vrijednosti AAT i ATA iste?
Matrice AAT i ATA imaju iste nenulte svojstvene vrijednosti. Odjeljak 6.5 je pokazao da su svojstveni vektori ovih simetričnih matrica ortogonalni.
Da li je ATA isto što i AAT?
Pošto su AAT i ATA realno simetrični, mogu se dijagonalizirati ortogonalnim matricama. Iz prethodne izjave slijedi (pošto se geometrijski i algebarski višestrukost poklapaju) da AAT i ATA imaju iste vlastite vrijednosti.
Da li ATA ima različite vlastite vrijednosti?
Tačno. Na primjer, ako je A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , tada karakteristična jednačina det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 nema ponovljeni korijen. Stoga su sve vlastite vrijednosti A različite i A je dijagonalizirano. 3.35 Za bilo koju realnu matricu A, AtA je uvijek dijagonaliziran.
Mogu li različiti vlastiti vektori imati istu svojstvenu vrijednost?
Dva različita svojstvena vektora koja odgovaraju istoj Svojstvena vrijednost su uvijek linearno zavisna. Dva različita svojstvena vektora koji odgovaraju istoj svojstvenoj vrijednosti su uvijek linearno zavisna.
