Teorema 1. Svaki Cauchyjev niz realnih brojeva konvergira do granice.
Kako pronaći granicu Cauchyjevog niza?
Dokaži: granica Cauchyjevog niza an=limn→∞an.
Da li se svaki Cauchyjev niz konvergira?
Svaki pravi Cauchyjev niz je konvergentan. Teorema.
Da li svi konvergentni nizovi imaju ograničenje?
Stoga za sve konvergentne sekvence ograničenje je jedinstveno. Notacija Pretpostavimo da je {an}n∈N konvergentno. Tada je prema teoremi 3.1 granica jedinstvena i možemo je zapisati kao l, recimo.
Može li niz konvergirati na dvije različite granice?
to znači da je L1 − L2=0 ⇒ L1=L2, i stoga sekvenca ne može imati dva različita ograničenja. Za ovo ϵ, pošto an konvergira u L1, imamo da postoji indeks N1 tako da je |an −L1| N1. Istovremeno, an konvergira u L2, pa postoji indeks N2 tako da je |an −L2| N2.
