Neformalno, grupa je ciklična ako je generisana jednim elementom. Abelov je ako množenje komutira. Grupa je ciklična ako je može generirati jedan element.
Je li abelova grupa ciklična?
Sve cikličke grupe su Abelove, ali Abelova grupa nije nužno ciklična. Sve podgrupe Abelove grupe su normalne. U Abelovoj grupi, svaki element je u klasi konjugacije za sebe, a tabela znakova uključuje moći jednog elementa poznatog kao generator grupe.
Kako dokazati da je abelova grupa ciklična?
Dokaz
- Neka je G ciklična grupa sa generatorom g∈G. Naime, imamo G=⟨g⟩ (svaki element u G je neki stepen od g.)
- Neka su a i b proizvoljni elementi u G. Tada postoji n, m∈Z takvi da je a=gn i b=gm.
- Otuda dobijamo ab=ba za proizvoljno a, b∈G. Dakle, G je abelova grupa.
Kako znate da li je grupa ciklična?
4 odgovora. Konačna grupa je ciklična ako i samo ako ima tačno jednu podgrupu svakog djelitelja svog reda. Dakle, ako pronađete dvije podgrupe istog reda, onda grupa nije ciklična i to ponekad može pomoći.
Šta je ciklička grupa objasniti na primjeru?
Na primjer, (Z/6Z)×={1, 5} , a pošto je 6 dvostruko neparno prosječno ovo je ciklična grupa. … Kada je (Z/nZ)× cikličan, njegovi generatori se nazivaju primitivnim korijenima po modulu n. Za prost broj p, grupa (Z/pZ)× je uvijek ciklična, sastoji se od ne-nultih elemenata konačnog polja reda p.
